ANEXO: Demostración de Euclides de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2

             Los números irracionales son conocidos desde la Antigüedad clásica. Euclides demostró por reducción al absurdo que la raíz cuadrada de 2 no se podía escribir en forma de fracción a/b, fueran cuales fueran los valores enteros de a y b.

            Para ello planteó como hipótesis que dicha fracción existiera con el objetivo de hallar las contradicciones. Así pues, se presenta la primera igualdad:

                        √2 = a / b

            A continuación se elevan ambos miembros al cuadrado:

                        2 = a² / b²

            Y luego se reordena la igualdad quitando la fracción:

                        2b² = a²

            Con esta forma de la ecuación ya se pueden utilizar algunos razonamientos que permitirán acercarse a la contradicción. En primer lugar una obviedad: cualquier número multiplicado por 2 es par. En segundo lugar: si el cuadrado de un número es par, entonces el propio número también es par.

            Siguiendo estos razonamientos y aplicándolos sobre la igualdad anterior se puede deducir que:

 a² es par

            a es par

Por tanto, sabiendo que a es un número par entonces se puede escribir como:

a = 2c

            Y sustituyendo en la anterior igualdad se obtiene:

                        2b² = (2c)² = 4c²

            Dividiendo por 2 a ambos lados de la igualdad:

                         b² = 2c²

            Con lo que resulta una igualdad de aspecto similar a la que se había obtenido anteriormente, pero cambiando a por b y b por c. Por tanto, se puede utilizar el mismo argumento para decir que, en este caso, b es un número par. Si b es par entonces puede escribirse:

                        b = 2d

            Y volviendo al principio:

                        √2 = a / b = 2c / 2d

            Simplificando la fracción 2c/2d se obtiene:

                        √2 = c / d       

            El resultado indica que c/d sería una fracción más simple que a/b, y eso no es contradictorio en sí mismo, pero lo cierto es que nada impide que sobre la nueva igualdad se pueda hacer el mismo proceso para obtener una nueva fracción e/f, y luego una g/h, y así hasta el infinito.

            ¿Qué está ocurriendo? Ya se ha llegado a la contradicción. Una fracción puede simplificarse pero nunca indefinidamente, siempre hay un momento en el que el numerador y el denominador dejan de tener factores en común, momento en el que se tiene la fracción más simple posible o irreducible.

            Si se tomara, por ejemplo, la fracción 15/30, se podría simplificar primero como 3/6 (dividiendo el numerador y el denominador por 5), y luego como 1/2 (dividiendo el numerador y el denominador por 3). Sin embargo, la fracción 1/2 es ya irreducible. El proceso de simplificación nunca es infinito.

            El resultado obtenido al suponer que √2 puede expresarse como una fracción es un absurdo, pues significaría que dicha fracción no tiene una forma simple e irreducible, lo cual es imposible.

            La conclusión es que la raíz cuadrada de 2 no se puede expresar como una fracción. Es irracional.