A
lo largo de la historia ha sido frecuente considerar por los teóricos y
arquitectos de cada momento que la armonía y la belleza de una estructura estaban íntimamente relacionadas con las proporciones.
Estas proporciones se establecían siempre de tal manera que relacionaran las
diversas dimensiones del edificio y sus elementos mediante operaciones
matemáticas simples, cuidando que los cocientes numéricos entre las partes
fueran los mismos o estuvieran ligados entre sí de forma directa.
Este
sentido natural de la proporción fue llevado en algunos periodos a un nivel de
elaboración teórica mucho más profundo, elevado y abstracto, llegando a
establecer una íntima relación entre la armonía percibida por el oído,
consecuencia de las proporciones musicales, y la armonía percibida por la vista
a través de las proporciones arquitectónicas. Ese nexo de unión intangible a
través de la matemática fue especialmente intenso durante el Renacimiento como lo fue también en la Antigüedad clásica en la que se inspiraba, y no se
limitaba a tratar de explicar la armonía de las obras humanas sino que se
atribuían las mismas proporciones armónicas a la propia estructura del universo
conocido.
De
hecho la teoría pitagórica conocida como «la armonía de las esferas», establecía
que el Sol, la Luna y los planetas producían zumbidos de distinto tono en
función de la distancia de sus órbitas, que estaban alejadas según proporciones
musicales, aunque no podían ser escuchados por resultar imperceptibles para el
oído humano.
Este
sentido matemático de la armonía y el orden son consideradas consustanciales a
la naturaleza humana por la psicología moderna. Es evidente que el cuerpo
humano está basado en la simetría y que
cuanto más perfectas son las proporciones entre sus partes más bello resulta a
quien lo observa. Parece innegable entonces que la mente humana requiere el
concepto de orden matemático y que la interpretación humana de la naturaleza es
predominantemente matemática.
El
estudio de las civilizaciones superiores demuestra que todas creyeron en un
orden basado en los números y en las relaciones numéricas. Este orden buscaba
la armonía entre conceptos universales y cósmicos y la vida del hombre. Los
vínculos establecidos eran de naturaleza habitualmente mística o fantasiosa y
eran interpretados por los sacerdotes que se convertían a la vez en celosos
guardianes de dichos secretos. Como no había una verdadera razón para escoger entre
unas u otras proporciones o trazados, los órdenes matemáticos encontrados en
templos, cámaras sepulcrales o pirámides de Babilonia, Egipto o China no son
coincidentes. Sin embargo, lo que sí es común a todos es precisamente la
búsqueda de un patrón, un orden matemático, que acercara las obras humanas a la
ordenación perfecta del cosmos.
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| Pirámide de Kefren (Egipto) |
El
cambio de enfoque que convirtió la matemática en una ciencia teórica se produjo
en la Grecia clásica. Hasta ese momento había predominado una visión mística,
arbitraria, de la ordenación matemática en la arquitectura y en las artes, pero
los pensadores y artistas griegos llegaron mucho más lejos al empezar a usar de
forma sistemática la matemática para interpretar la naturaleza.
Sin
duda la persona que más influyó en este cambio fue Pitágoras, a quien se suele
considerar el fundador de la geometría teórica. Fue él quien consiguió
explicar diversos fenómenos naturales a
través de relaciones numéricas que había descubierto. Esto le hizo pensar que
la verdadera naturaleza del universo podía explicarse a través de la matemática
y que su estructura se construía a partir de ciertas razones y proporciones de
forma armoniosa. De ahí surgió la concepción Pitagórica del mundo resumida en
la frase: “Todo es número”.
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| Pitágoras (ca. 569 a. C. – ca. 475 a. C.) |
Probablemente
el hallazgo que más poderosamente influyó en la idea pitagórica de una armonía
universal regida por números fue la comprobación de que las consonancias musicales dependían de unas proporciones fijas entre las distintas cuerdas del
instrumento musical.
La
leyenda cuenta que Pitágoras descubrió las consonancias musicales, los
fundamentos básicos de la música, al pasar frente a una herrería. Sorprendido
por el sonido armonioso que producían los martillos al golpear simultáneamente
se internó en el taller para examinarlos. Advirtió entonces que los pesos eran
proporcionales y que esas proporciones se podían escribir con los números más
sencillos. Esa era la llave que le permitiría abrir la puerta a la inexplorada
armonía universal.
Dicha
leyenda, que está documentada por primera vez en el siglo II d.C. por Nicómaco,
se ha demostrado falsa. No obstante, lo cierto es que Pitágoras descubrió de un
modo u otro las principales concordancias musicales, aquellas que se construyen
con los primeros números naturales 1:2:3:4.
Basta tomar un par de cuerdas del mismo material, grosor,
etc, para poder comprobar cómo sus sonidos simultáneos, cuando son pulsadas de
acuerdo a las proporciones de la afinación pitagórica, son bellos y armónicos.
Si las longitudes de cuerda son similares entonces ambas suenan
al unísono, siendo la razón más sencilla 1:1, que podría equipararse
visualmente al cuadrado, por tener sus lados iguales.
Si una longitud es la mitad que la otra, o visto a la
inversa, una es el doble de larga que la otra, entonces se dice que ambos
sonidos están separados por una octava, cuya razón asociada es 2:1. Se trata
entonces de la misma nota sonando en una cuerda con un tono más agudo y en la
otra con un tono más grave. Cuanto más corta es la cuerda más agudo es el
sonido ya que al pulsarla vibra con mayor frecuencia. La mitad de la mitad de
la longitud produciría el sonido de la misma nota en un tono aún más agudo,
cuya relación con las anteriores se podría expresar como 1:2:4. Visualmente la
octava musical se equipararía a un rectángulo donde uno de sus lados es el
doble que el otro.
Si la longitud de una de las cuerdas es tres cuartos de
la de la otra entonces se dice que ambos sonidos están separados por una
cuarta. La razón asociada a la cuarta es 4:3.
Del mismo modo, si la longitud de la segunda cuerda es
dos tercios de la original entonces ambos sonidos están separados por una
quinta cuya razón asociada es 3:2.
En total la escala musical pitagórica constaba de tres
consonancias simples: la octava, la cuarta y la quinta; y dos consonancias
compuestas: la doble octava (razón 4:1) y la octava más la quinta (razón 3:1,
resultado de operar 2:1, la octava, y sobre la longitud resultante operar 3:2, la
quinta, obteniendo la razón 6:2 que simplificada es 3:1). Como consecuencia de esto el sistema armónico
griego se podía expresar utilizando solamente los 4 primeros números enteros
combinándolos de todas las formas posibles:
2:1 es la octava o diapason
3:2 es la quinta o diapente
4:3 es la cuarta o diatessaron
3:1 es la octava más la quinta (diapason-diapente)
4:1 es
la doble octava (bidiapason o disdiapason)
A partir de estas premisas se puede deducir fácilmente de
forma puramente numérica que una octava se compone de una quinta y una cuarta
(2/1= 3/2 x 4/3), teniendo en cuenta que para sumar intervalos se multiplican
sus razones y para restar se dividen.
Es
fácil imaginar el asombro y la emoción que debió sentir Pitágoras al descubrir
la relación tan estrecha que existía entre el sonido armonioso y los números
más sencillos. Una relación que entendió le abriría el camino hacia la
comprensión del universo.
De hecho, los pitagóricos convirtieron la Tetraktys (o tetracto) formada con los cuatro números que determinaban los
acordes musicales esenciales (1, 2, 3 y 4) en un elemento de especial
veneración, atribuyendo a la suma de todos ellos 1+2+3+4 = 10 la representación
simbólica del universo.
El número 10 era además triangular, es decir, una
cantidad de 10 puntos ordenadamente colocados podía adoptar la forma de un
triángulo equilátero, y esta era la forma en que la Tetraktys era representada. Los números triangulares pertenecen a
la sucesión n(n+1)/2 y, en efecto, para n=4 se cumple que 4(4+1)/2 = 10. Los
números figurados (triangulares, cuadrados, pentagonales, etc) fueron
ampliamente estudiados por los pitagóricos que los consideraron de gran
importancia en su visión entre científica, religiosa y mística del mundo.
No obstante la escala musical pitagórica, probablemente
influenciada por un demasiado riguroso ideal de perfección y simplicidad, dejó
de lado algunas consonancias elementales como la octava más la cuarta (8/3 =
2/1 x 4/3). Ptolomeo en tiempos posteriores no dudó en incluirla en su tratado
de música (Armónica II, 4) ya que toda consonancia más la octava sigue siendo
una consonancia. Pero es probable que dado que la razón 8:3 incluye al número 8,
que está fuera de la Tetraktys, no se
considerase lo suficientemente sencilla o perfecta por los pitagóricos.
Platón, reinterpretando la visión pitagórica, consideraba
que el alma del mundo se expresaba mediante la doble-tetracto formada por (1+3+5+7) + (2+4+6+8) = 36, conjunto que
daba lugar a una escala musical mucho más amplia con 36 términos.
El estudio de la aritmética, sin embargo, no dejaría de
procurar a los pitagóricos valiosos descubrimientos y asombrosas relaciones
entre la escala musical, la armonía entendida en su sentido más amplio y la
matemática. Al aplicar la teoría pitagórica de las denominadas “medias” a las
razones que determinaban los intervalos entre las distintas notas de la escala
musical encontraron una nueva confirmación de su universalidad, esta vez a
través del análisis de las proporciones.
Para
realizar una primera aproximación a este enfoque es necesario precisar que las
razones ponen en relación dos cantidades (por ejemplo 3/2), mientras que la
proporción es la igualdad de razones entre dos pares de cantidades. De esto
resulta que para establecer una proporción deben existir al menos tres
magnitudes, dos términos extremos y un término medio.
Los
pitagóricos habían estudiado y formulado las propiedades de diversos tipos de
proporciones con todo detalle, pero no dejaría de sorprenderles que los tres
principales tipos determinaran de manera inequívoca y exacta las consonancias
de la escala musical tal y como Pitágoras la había descrito. Era un hecho
significativo, notable, que reforzaba la visión casi mística que tenían de los
números y sus relaciones.
La
primera de esas proporciones se calculaba a través de la denominada media
geométrica en la cual el primer término es al segundo como el segundo al
tercero. Este tipo definía a la perfección la forma de generar la octava ya que
2 es a 1 en la misma proporción que 4 es a 2, algo que se expresa sencillamente
como 1:2:4. De forma resumida se puede decir que b es la media geométrica entre a
y c cuando se cumple que a/b = b/c.
El
segundo tipo es la llamada media aritmética. En este caso el segundo término
excede al primero en la misma cantidad que el tercero excede al segundo, lo que
podría ejemplificarse con la proporción 2:3:4. O dicho de otro modo: el término
b es la media aritmética entre a y c
cuando a–b = b–c. De lo que resulta que la media aritmética determina la
división de una octava en una quinta y una cuarta.
Por
último, el tercer tipo al que se denomina media armónica. En este caso se dice
que b es la media armónica entre a y c
cuando (a–b)/(b–c) = a/c. O dicho de otra forma: tres términos están en
proporción armónica cuando la distancia de los dos extremos al medio es la
misma fracción de su propia cantidad. Si se considera, por ejemplo, la terna
6:8:12 se puede comprobar fácilmente que 8 excede a 6 en 1/3 de 6 (es decir, 2),
y que a su vez 8 es excedido por 12 en 1/3 de 12 (es decir, 4). El resultado conseguido
al dividir la octava de esta forma, por tanto, es inverso al de la media
aritmética ya que cambia el orden, obteniéndose en este caso primero una cuarta
y luego una quinta.
Analizados
los tres tipos de proporciones obtenidos a través de las medias geométrica,
aritmética y armónica se observa que mantienen una íntima y fascinante relación
con las consonancias musicales. Como consecuencia de estos hallazgos, las leyes
matemáticas de la armonía descubiertas por los pitagóricos resultaron tan
atractivas y poderosas y ejercieron tal influencia que fue inevitable el salto
de la música a la arquitectura y las artes, e incluso a la propia concepción
del universo.
No
es por tanto de extrañar que su capacidad de atracción resurgiera con enorme
fuerza en el Renacimiento, cuando la teoría matemática de las medias y la
creencia en la belleza de las proporciones musicales volvió de nuevo al primer
plano.
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| Detalle de "La escuela de Atenas", de Rafael, donde se puede ver a Pitágoras junto a una tablilla con la escala musical griega |
Rafael
pintó entre los años 1509 y 1512 el fresco “La escuela de Atenas” que adorna
las paredes del Palacio Apostólico en el Vaticano, donde puede verse a
Pitágoras con un joven que sostiene una tablilla con las consonancias de la
escala musical griega. La representación incluye un diagrama en forma de lira
con los números romanos correspondientes a 6, 8, 9 y 12 en la parte superior y la
Tetraktys en la parte inferior junto
con el número 10, símbolo del universo. La virtud del conjunto 6, 8, 9, 12, es
que ejemplifica con sencillez las proporciones musicalmente armoniosas descubiertas
por los pitagóricos: 12 es el doble (2/1) de 6 y representa la octava; 8 es 4/3
de 6 y 12 es 4/3 de 9, son por tanto las cuartas; finalmente, 9 es 3/2 de 6 y
12 es 3/2 de 8, las quintas. Este singular conjunto de proporciones, 6:8:9:12,
tuvo gran relevancia para filósofos posteriores a Pitágoras que lo utilizaron
en muchos casos con fines tendentes al misticismo.
Por
si fuera poco, el número de oro que fue ampliamente estudiado en el
Renacimiento y al que Luca Pacioli le dedicó su tratado titulado “La divina
proporción”, ilustrado por Leonardo da Vinci, hacía su aparición también en el
conjunto 6:8:9:12. Bastan unos sencillos cálculos para comprobar que, en
efecto, la proporción áurea que relaciona las medias aritmética y armónica está
presente: el número mayor, 12, es a la media aritmética, 9, como la media
armónica, 8, es al número menor, 6, de lo que resulta que: 12/9 = 8/6. O lo que
es lo mismo: el producto de los medios es igual al producto de los extremos, es
decir, 8 x 9 = 6 x 12. El número de oro es también llamado por esto media y
extrema razón.
En
cuanto a la arquitectura, la influencia de los hallazgos numéricos de los
pitagóricos alcanzaría de manera muy notable a los artistas renacentistas, algo
que quedó patente tanto en la obra
construida como en los escritos teóricos.
El
arquitecto, matemático y tratadista genovés Leon Battista Alberti fue quien con
mayor claridad expuso la relación entre la arquitectura y en la música a través
de la armonía en las proporciones:
“Los
números por los cuales la concordancia de los sonidos afecta placenteramente a
nuestros oídos son los mismos que agradan a nuestros ojos y nuestra mente”.
Esta
cita, extraída de su obra “De re aedificatoria”, no deja lugar a dudas sobre la
idea de que las proporciones en la arquitectura habrían de ser las mismas que en
la música para resultar armoniosas. Además, contiene otra idea aún más
poderosa, ya que no sólo se refiere a lo que es armonioso a los ojos sino
también a la mente, es decir, esboza la concepción de la psicología moderna de
que el hombre por su propia naturaleza busca un orden matemático y una armonía
básica. Por eso no resulta extraño comprobar que Alberti formuló una teoría
aritmética de las proporciones inspirándose en los intervalos armónicos de la
escala musical griega y que luego la llevó a la práctica en sus propias obras.
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| "De re aedificatoria" de Alberti, edición española de Francisco Lozano (Madrid, 1582) |
Otro
notable exponente de esta concepción de asimilación de los principios numéricos
de la armonía musical a la práctica de la arquitectura fue Andrea Palladio. Nacido
en Padua, arquitecto además de tratadista en los últimos años de su vida,
trabajó sobre todo en la ciudad de Vicenza y sus alrededores, dejando un
inmenso legado construido. A los 62 años
publicó sus “Cuatro libros sobre arquitectura” en los que se encuentran algunos
de los ejemplos más típicos de una estricta aplicación de las razones
musicales.
Resulta
singular el caso de la villa Thiene, empezada a construir en 1542 en Vicenza,
sin que pudiera llegar a ser concluida por Palladio, que no obstante publicó en
su tratado los planos del proyecto, tal y como deseó que hubiera sido. En la
planta llama poderosamente la atención que todas las estancias están
dimensionadas de acuerdo con las series armónicas 12-18-36 que representan las
razones 1:2 (octava), 2:3 (quinta) y 1:3 (octava más quinta).
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| Planta y alzado de la Villa Thiene de Andrea Palladio publicadas en su tratado "Cuatro libros sobre arquitectura" |
Las
proporciones usadas por Palladio en sus edificios, que bosquejaban siempre
armonías musicales, no se limitaban necesariamente a las dimensiones de la planta,
sino que a menudo eran aplicadas en las tres dimensiones del espacio,
relacionando la altura, longitud y anchura de las estancias, por ejemplo según
las proporciones 6:8:12, que ya resultan familiares.
Aunque
no se puede asegurar con toda certeza que en el diseño de las construcciones
renacentistas sus diseñadores trasladasen de manera sistemática las
proporciones musicales a las visuales, si se sabe que en la época se
consideraba que las consonancias musicales eran la prueba audible de su
belleza. Por tanto, estas proporciones a partir de números enteros pequeños
eran usadas con naturalidad y en muchos casos con cuidadoso rigor e intención.
De
hecho, su influencia fue tan notable que los tratados arquitectónicos escritos
entre los siglos XV y XVIII se referían de manera frecuente a las proporciones
geométrica, aritmética y armónica. Proporciones que bosquejaban para los ojos y
la mente la belleza tan agradable al oído de las armonías musicales.
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Excelente, muchas gracias por publicarlo.
ResponderEliminarA ti por tu comentario. Saludos.
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