Música y arquitectura, el discreto encanto de las proporciones



A lo largo de la historia ha sido frecuente considerar por los teóricos y arquitectos de cada momento que la armonía y la belleza de una estructura  estaban íntimamente relacionadas con las proporciones. Estas proporciones se establecían siempre de tal manera que relacionaran las diversas dimensiones del edificio y sus elementos mediante operaciones matemáticas simples, cuidando que los cocientes numéricos entre las partes fueran los mismos o estuvieran ligados entre sí de forma directa.
Este sentido natural de la proporción fue llevado en algunos periodos a un nivel de elaboración teórica mucho más profundo, elevado y abstracto, llegando a establecer una íntima relación entre la armonía percibida por el oído, consecuencia de las proporciones musicales, y la armonía percibida por la vista a través de las proporciones arquitectónicas. Ese nexo de unión intangible a través de la matemática fue especialmente intenso durante el Renacimiento como lo fue también en la Antigüedad clásica en la que se inspiraba, y no se limitaba a tratar de explicar la armonía de las obras humanas sino que se atribuían las mismas proporciones armónicas a la propia estructura del universo conocido.
De hecho la teoría pitagórica conocida como «la armonía de las esferas», establecía que el Sol, la Luna y los planetas producían zumbidos de distinto tono en función de la distancia de sus órbitas, que estaban alejadas según proporciones musicales, aunque no podían ser escuchados por resultar imperceptibles para el oído humano.



Este sentido matemático de la armonía y el orden son consideradas consustanciales a la naturaleza humana por la psicología moderna. Es evidente que el cuerpo humano está basado en la simetría  y que cuanto más perfectas son las proporciones entre sus partes más bello resulta a quien lo observa. Parece innegable entonces que la mente humana requiere el concepto de orden matemático y que la interpretación humana de la naturaleza es predominantemente matemática.
El estudio de las civilizaciones superiores demuestra que todas creyeron en un orden basado en los números y en las relaciones numéricas. Este orden buscaba la armonía entre conceptos universales y cósmicos y la vida del hombre. Los vínculos establecidos eran de naturaleza habitualmente mística o fantasiosa y eran interpretados por los sacerdotes que se convertían a la vez en celosos guardianes de dichos secretos. Como no había una verdadera razón para escoger entre unas u otras proporciones o trazados, los órdenes matemáticos encontrados en templos, cámaras sepulcrales o pirámides de Babilonia, Egipto o China no son coincidentes. Sin embargo, lo que sí es común a todos es precisamente la búsqueda de un patrón, un orden matemático, que acercara las obras humanas a la ordenación perfecta del cosmos.


Pirámide de Kefren (Egipto)

El cambio de enfoque que convirtió la matemática en una ciencia teórica se produjo en la Grecia clásica. Hasta ese momento había predominado una visión mística, arbitraria, de la ordenación matemática en la arquitectura y en las artes, pero los pensadores y artistas griegos llegaron mucho más lejos al empezar a usar de forma sistemática la matemática para interpretar la naturaleza.
Sin duda la persona que más influyó en este cambio fue Pitágoras, a quien se suele considerar el fundador de la geometría teórica. Fue él quien consiguió explicar  diversos fenómenos naturales a través de relaciones numéricas que había descubierto. Esto le hizo pensar que la verdadera naturaleza del universo podía explicarse a través de la matemática y que su estructura se construía a partir de ciertas razones y proporciones de forma armoniosa. De ahí surgió la concepción Pitagórica del mundo resumida en la frase: “Todo es número”.


Pitágoras (ca. 569 a. C. – ca. 475 a. C.)

Probablemente el hallazgo que más poderosamente influyó en la idea pitagórica de una armonía universal regida por números fue la comprobación de que las consonancias musicales dependían de unas proporciones fijas entre las distintas cuerdas del instrumento musical.
La leyenda cuenta que Pitágoras descubrió las consonancias musicales, los fundamentos básicos de la música, al pasar frente a una herrería. Sorprendido por el sonido armonioso que producían los martillos al golpear simultáneamente se internó en el taller para examinarlos. Advirtió entonces que los pesos eran proporcionales y que esas proporciones se podían escribir con los números más sencillos. Esa era la llave que le permitiría abrir la puerta a la inexplorada armonía universal.



Dicha leyenda, que está documentada por primera vez en el siglo II d.C. por Nicómaco, se ha demostrado falsa. No obstante, lo cierto es que Pitágoras descubrió de un modo u otro las principales concordancias musicales, aquellas que se construyen con los primeros números naturales 1:2:3:4.
            Basta tomar un par de cuerdas del mismo material, grosor, etc, para poder comprobar cómo sus sonidos simultáneos, cuando son pulsadas de acuerdo a las proporciones de la afinación pitagórica, son bellos y armónicos.
            Si las longitudes de cuerda son similares entonces ambas suenan al unísono, siendo la razón más sencilla 1:1, que podría equipararse visualmente al cuadrado, por tener sus lados iguales.
            Si una longitud es la mitad que la otra, o visto a la inversa, una es el doble de larga que la otra, entonces se dice que ambos sonidos están separados por una octava, cuya razón asociada es 2:1. Se trata entonces de la misma nota sonando en una cuerda con un tono más agudo y en la otra con un tono más grave. Cuanto más corta es la cuerda más agudo es el sonido ya que al pulsarla vibra con mayor frecuencia. La mitad de la mitad de la longitud produciría el sonido de la misma nota en un tono aún más agudo, cuya relación con las anteriores se podría expresar como 1:2:4. Visualmente la octava musical se equipararía a un rectángulo donde uno de sus lados es el doble que el otro.



            Si la longitud de una de las cuerdas es tres cuartos de la de la otra entonces se dice que ambos sonidos están separados por una cuarta. La razón asociada a la cuarta es 4:3.
            Del mismo modo, si la longitud de la segunda cuerda es dos tercios de la original entonces ambos sonidos están separados por una quinta cuya razón asociada es 3:2.
            En total la escala musical pitagórica constaba de tres consonancias simples: la octava, la cuarta y la quinta; y dos consonancias compuestas: la doble octava (razón 4:1) y la octava más la quinta (razón 3:1, resultado de operar 2:1, la octava, y sobre la longitud resultante operar 3:2, la quinta, obteniendo la razón 6:2 que simplificada es 3:1).  Como consecuencia de esto el sistema armónico griego se podía expresar utilizando solamente los 4 primeros números enteros combinándolos de todas las formas posibles:

                        2:1       es la octava o diapason
                        3:2       es la quinta o diapente
                        4:3       es la cuarta o diatessaron
                        3:1       es la octava más la quinta (diapason-diapente)
                        4:1       es la doble octava (bidiapason o disdiapason)

            A partir de estas premisas se puede deducir fácilmente de forma puramente numérica que una octava se compone de una quinta y una cuarta (2/1= 3/2 x 4/3), teniendo en cuenta que para sumar intervalos se multiplican sus razones y para restar se dividen.
Es fácil imaginar el asombro y la emoción que debió sentir Pitágoras al descubrir la relación tan estrecha que existía entre el sonido armonioso y los números más sencillos. Una relación que entendió le abriría el camino hacia la comprensión del universo.
            De hecho, los pitagóricos convirtieron la Tetraktys (o tetracto) formada con los cuatro números que determinaban los acordes musicales esenciales (1, 2, 3 y 4) en un elemento de especial veneración, atribuyendo a la suma de todos ellos 1+2+3+4 = 10 la representación simbólica del universo.



            El número 10 era además triangular, es decir, una cantidad de 10 puntos ordenadamente colocados podía adoptar la forma de un triángulo equilátero, y esta era la forma en que la Tetraktys era representada. Los números triangulares pertenecen a la sucesión n(n+1)/2 y, en efecto, para n=4 se cumple que 4(4+1)/2 = 10. Los números figurados (triangulares, cuadrados, pentagonales, etc) fueron ampliamente estudiados por los pitagóricos que los consideraron de gran importancia en su visión entre científica, religiosa y mística del mundo.



            No obstante la escala musical pitagórica, probablemente influenciada por un demasiado riguroso ideal de perfección y simplicidad, dejó de lado algunas consonancias elementales como la octava más la cuarta (8/3 = 2/1 x 4/3). Ptolomeo en tiempos posteriores no dudó en incluirla en su tratado de música (Armónica II, 4) ya que toda consonancia más la octava sigue siendo una consonancia. Pero es probable que dado que la razón 8:3 incluye al número 8, que está fuera de la Tetraktys, no se considerase lo suficientemente sencilla o perfecta por los pitagóricos.
            Platón, reinterpretando la visión pitagórica, consideraba que el alma del mundo se expresaba mediante la doble-tetracto formada por (1+3+5+7) + (2+4+6+8) = 36, conjunto que daba lugar a una escala musical mucho más amplia con 36 términos.
            El estudio de la aritmética, sin embargo, no dejaría de procurar a los pitagóricos valiosos descubrimientos y asombrosas relaciones entre la escala musical, la armonía entendida en su sentido más amplio y la matemática. Al aplicar la teoría pitagórica de las denominadas “medias” a las razones que determinaban los intervalos entre las distintas notas de la escala musical encontraron una nueva confirmación de su universalidad, esta vez a través del análisis de las proporciones.
Para realizar una primera aproximación a este enfoque es necesario precisar que las razones ponen en relación dos cantidades (por ejemplo 3/2), mientras que la proporción es la igualdad de razones entre dos pares de cantidades. De esto resulta que para establecer una proporción deben existir al menos tres magnitudes, dos términos extremos y un término medio.
Los pitagóricos habían estudiado y formulado las propiedades de diversos tipos de proporciones con todo detalle, pero no dejaría de sorprenderles que los tres principales tipos determinaran de manera inequívoca y exacta las consonancias de la escala musical tal y como Pitágoras la había descrito. Era un hecho significativo, notable, que reforzaba la visión casi mística que tenían de los números y sus relaciones.
La primera de esas proporciones se calculaba a través de la denominada media geométrica en la cual el primer término es al segundo como el segundo al tercero. Este tipo definía a la perfección la forma de generar la octava ya que 2 es a 1 en la misma proporción que 4 es a 2, algo que se expresa sencillamente como 1:2:4. De forma resumida se puede decir que b es la media geométrica entre a y c cuando se cumple que a/b = b/c.
El segundo tipo es la llamada media aritmética. En este caso el segundo término excede al primero en la misma cantidad que el tercero excede al segundo, lo que podría ejemplificarse con la proporción 2:3:4. O dicho de otro modo: el término b es la media aritmética entre a y c cuando a–b = b–c. De lo que resulta que la media aritmética determina la división de una octava en una quinta y una cuarta.
Por último, el tercer tipo al que se denomina media armónica. En este caso se dice que b es la media armónica entre a y c cuando (a–b)/(b–c) = a/c.  O dicho de otra forma: tres términos están en proporción armónica cuando la distancia de los dos extremos al medio es la misma fracción de su propia cantidad. Si se considera, por ejemplo, la terna 6:8:12 se puede comprobar fácilmente que 8 excede a 6 en 1/3 de 6 (es decir, 2), y que a su vez 8 es excedido por 12 en 1/3 de 12 (es decir, 4). El resultado conseguido al dividir la octava de esta forma, por tanto, es inverso al de la media aritmética ya que cambia el orden, obteniéndose en este caso primero una cuarta y luego una quinta.
Analizados los tres tipos de proporciones obtenidos a través de las medias geométrica, aritmética y armónica se observa que mantienen una íntima y fascinante relación con las consonancias musicales. Como consecuencia de estos hallazgos, las leyes matemáticas de la armonía descubiertas por los pitagóricos resultaron tan atractivas y poderosas y ejercieron tal influencia que fue inevitable el salto de la música a la arquitectura y las artes, e incluso a la propia concepción del universo.
No es por tanto de extrañar que su capacidad de atracción resurgiera con enorme fuerza en el Renacimiento, cuando la teoría matemática de las medias y la creencia en la belleza de las proporciones musicales volvió de nuevo al primer plano.


Detalle de "La escuela de Atenas", de Rafael, donde se puede ver a
     Pitágoras junto a una tablilla con la escala musical griega 

Rafael pintó entre los años 1509 y 1512 el fresco “La escuela de Atenas” que adorna las paredes del Palacio Apostólico en el Vaticano, donde puede verse a Pitágoras con un joven que sostiene una tablilla con las consonancias de la escala musical griega. La representación incluye un diagrama en forma de lira con los números romanos correspondientes a 6, 8, 9 y 12 en la parte superior y la Tetraktys en la parte inferior junto con el número 10, símbolo del universo. La virtud del conjunto 6, 8, 9, 12, es que ejemplifica con sencillez las proporciones musicalmente armoniosas descubiertas por los pitagóricos: 12 es el doble (2/1) de 6 y representa la octava; 8 es 4/3 de 6 y 12 es 4/3 de 9, son por tanto las cuartas; finalmente, 9 es 3/2 de 6 y 12 es 3/2 de 8, las quintas. Este singular conjunto de proporciones, 6:8:9:12, tuvo gran relevancia para filósofos posteriores a Pitágoras que lo utilizaron en muchos casos con fines tendentes al misticismo.



Por si fuera poco, el número de oro que fue ampliamente estudiado en el Renacimiento y al que Luca Pacioli le dedicó su tratado titulado “La divina proporción”, ilustrado por Leonardo da Vinci, hacía su aparición también en el conjunto 6:8:9:12. Bastan unos sencillos cálculos para comprobar que, en efecto, la proporción áurea que relaciona las medias aritmética y armónica está presente: el número mayor, 12, es a la media aritmética, 9, como la media armónica, 8, es al número menor, 6, de lo que resulta que: 12/9 = 8/6. O lo que es lo mismo: el producto de los medios es igual al producto de los extremos, es decir, 8 x 9 = 6 x 12. El número de oro es también llamado por esto media y extrema razón.
En cuanto a la arquitectura, la influencia de los hallazgos numéricos de los pitagóricos alcanzaría de manera muy notable a los artistas renacentistas, algo que  quedó patente tanto en la obra construida como en los escritos teóricos.
El arquitecto, matemático y tratadista genovés Leon Battista Alberti fue quien con mayor claridad expuso la relación entre la arquitectura y en la música a través de la armonía en las proporciones:

“Los números por los cuales la concordancia de los sonidos afecta placenteramente a nuestros oídos son los mismos que agradan a nuestros ojos y nuestra mente”.

Esta cita, extraída de su obra “De re aedificatoria”, no deja lugar a dudas sobre la idea de que las proporciones en la arquitectura habrían de ser las mismas que en la música para resultar armoniosas. Además, contiene otra idea aún más poderosa, ya que no sólo se refiere a lo que es armonioso a los ojos sino también a la mente, es decir, esboza la concepción de la psicología moderna de que el hombre por su propia naturaleza busca un orden matemático y una armonía básica. Por eso no resulta extraño comprobar que Alberti formuló una teoría aritmética de las proporciones inspirándose en los intervalos armónicos de la escala musical griega y que luego la llevó a la práctica en sus propias obras.


"De re aedificatoria" de Alberti,
                   edición española de Francisco Lozano (Madrid, 1582)

Otro notable exponente de esta concepción de asimilación de los principios numéricos de la armonía musical a la práctica de la arquitectura fue Andrea Palladio. Nacido en Padua, arquitecto además de tratadista en los últimos años de su vida, trabajó sobre todo en la ciudad de Vicenza y sus alrededores, dejando un inmenso legado construido.  A los 62 años publicó sus “Cuatro libros sobre arquitectura” en los que se encuentran algunos de los ejemplos más típicos de una estricta aplicación de las razones musicales.
Resulta singular el caso de la villa Thiene, empezada a construir en 1542 en Vicenza, sin que pudiera llegar a ser concluida por Palladio, que no obstante publicó en su tratado los planos del proyecto, tal y como deseó que hubiera sido. En la planta llama poderosamente la atención que todas las estancias están dimensionadas de acuerdo con las series armónicas 12-18-36 que representan las razones 1:2 (octava), 2:3 (quinta) y 1:3 (octava más quinta).


Planta y alzado de la Villa Thiene de Andrea Palladio
                 publicadas en su tratado "Cuatro libros sobre arquitectura"

Las proporciones usadas por Palladio en sus edificios, que bosquejaban siempre armonías musicales, no se limitaban necesariamente a las dimensiones de la planta, sino que a menudo eran aplicadas en las tres dimensiones del espacio, relacionando la altura, longitud y anchura de las estancias, por ejemplo según las proporciones 6:8:12, que ya resultan familiares.
Aunque no se puede asegurar con toda certeza que en el diseño de las construcciones renacentistas sus diseñadores trasladasen de manera sistemática las proporciones musicales a las visuales, si se sabe que en la época se consideraba que las consonancias musicales eran la prueba audible de su belleza. Por tanto, estas proporciones a partir de números enteros pequeños eran usadas con naturalidad y en muchos casos con cuidadoso rigor e intención.

De hecho, su influencia fue tan notable que los tratados arquitectónicos escritos entre los siglos XV y XVIII se referían de manera frecuente a las proporciones geométrica, aritmética y armónica. Proporciones que bosquejaban para los ojos y la mente la belleza tan agradable al oído de las armonías musicales.


Entradas relacionadas:

No hay comentarios:

Publicar un comentario